№94

- Пропустить и перейти к материалам
- Пропустить и перейти к главной навигации
- Пропустить и перейти к первому столбцу
- Пропустить и перейти ко второму столбцу

# Библиотека учебных материалов

для студентов

Home Задачник Филиппов 3. Геометрические и физические задачи (71-100) №94

## №94

Воронка имеет форму конуса радиуса см и высоты см, обращенного вершиной вниз. За какое время вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметра см, сделанное в вершине конуса.

Решение.

Рассмотрим поперечное сечение конуса:

На рисунке DA - высота конуса (показана только половина сечения), DC - верхнее основание конуса, АВ - нижнее основение конуса. Пусть в некоторый момент времени t высота уровня воды была (отрезок ОВ на рисунке). Найдем зависимость радиуса верхней отметки R(t) уровня воды от высоты уровня. Проведем в трапеции ABCD высоту ВН. Из подобия треугольников BOM и ВНС

Откуда

Поскольку будем считать, что

Введем обозначения радиусов момент времени и :

Приращение объема воды за время равно очевидно объему усеченного конуса с радиусами оснований и и высотой , взятого с противоположным знаком (поскольку количество воды уменьшилось за время , приращение отрицательное):

С другой стороны, приращение объема

Приравняв полученные разным способом приращения, получим уравнение:

При

Неизвестную константу С найдем воспользовавшись тем, что в начальный момент времени бак был заполнен до верху:

Заменим радиус нижнего отверстия на половину диаметра:

Для нахождения времени подставляем h=0:

Откуда